Semaine 5 - Complexes

Exercice 5.1 (Dolby Digital)

a) Mettre $1 + e^{i\alpha}$ sous forme exponentielle et plus généralement $e^{i\alpha} + e^{i\beta}$.
b) Simplifier $\frac{1 + \cos \theta + i \sin \theta}{1 -/+ \cos \theta - i \sin \theta}$ et $\frac{(1+i\tan\theta)^2}{1+\tan^2\theta}$ pour $\theta\neq\pi/2$.


Exercice 5.2 (un peu de géometrie)

Montrer que le triangle de sommets d'affixes $a,b$ et $c$ est
équilatéral si et seulement si $a^2 + b^2 +c^2 - (ab+ ac+ bc) = 0$.


Exercice 5.3

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\displaystyle\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$. Calculer

a) $\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} \omega^k$

b) Pour $\displaystyle p\in \mathbb{Z}$, $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{kp}$

c) Pour $p \in \{0,...,n-1\}$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (k + 1) \omega^{kp}$

d) Pour $p \in \{0,...,n-1\}$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} \omega^{kp}$

e) Montrer que $\sum_{k=0}^{n-1} z^k=\prod_{k=1}^{n-1} \left(z-\omega^k\right)$. En déduire la valeur de $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n}$.

pour le premier j'ai:

Spoiler:

pour celle qui suit j'ai :

Spoiler:

désolé je ne sais a utiliser le latex..

Latex c'est pratique

J'ai bien les mêmes résultats, cependant je pense que ça serait bien que tu mettes un spoiler pour ceux qui souhaitent chercher l'exo

c'est quoi un spoiler?

lansteevens a écrit:

c'est quoi un spoiler?

Des balises que tu insères dans ta réponse qui ne rendent pas visible directement ton message.

Exemple :

Spoiler:

To spoil = gâcher (la surprise/le jeu ...)

et comment tu fai pour le faire stp come sa je le ferai.

lansteevens a écrit:

et comment tu fai pour le faire stp come sa je le ferai.

[*spoiler]Ceci est un spoiler[*/spoiler]

Comme ça (en enlevant les étoiles)

julien tu pourrai me dire si c'est un "+" ou un "-"avant le cos de lexemple 2 de lexercice 1 stp

Les deux . Par ailleurs, voudrais-tu bien détailler un peu tes résultats ?

ba pour les resultats quand je saurai utiliser le latex je le ferai mais la....

lansteevens a écrit:

julien tu pourrai me dire si c'est un "+" ou un "-"avant le cos de lexemple 2 de lexercice 1 stp

moi je dis quand c'est un + ça doit pas être très compliqué car le module je le fais de tête

a bon komment tu fia pour le trouver de tête le module? c 1ce module?

$1+e^{i\theta}$ et $1+e^{-i\theta}$ on clairement le même module : essaye de le voir géométriquement.

moi je trouve sa:

Spoiler:

c'est bon?

Oui mais c'est maladroit. Enfin... ce n'est pas toujours vrai il faudrait préciser pour quels $\theta$ on peut écrire ça.

Allez je m'y colle pour l'exo 5.3 :

Spoiler:

Voilà, j'espère que c'est plus ou moins juste

tu te doutes bien que c'était pas ça pour la b)
-> Je corrige, ça m'apprendra.

Sinon ça n'a pas l'air mal du tout , je regarderai en détails demain.

julien a écrit:

tu te doutes bien que c'était pas ça pour la b)

Effectivement elle me semblait louche la b)

J'ai aussi modifié la c) et la d)

oh, ben ça change pas grand chose je cours éditer mon post précédent

Thibault a écrit:

oh, ben ça change pas grand chose je cours éditer mon post précédent

Je suis d'accord pour la a), par contre déjà la b)...

juste une chose, parce que je ne suis pas sûr de la simplification (ou alors c'est la fatigue), est-ce que ${(e^{\frac{2i\pi}{n}})}^{np}={(e^{2i\pi})}^p=1^p=1$ ?
parce que dans ce cas-là, la b) ferait tout le temps 0 si je ne m'abuse

Thibault a écrit:

juste une chose, parce que je ne suis pas sûr de la simplification (ou alors c'est la fatigue), est-ce que ${(e^{\frac{2i\pi}{n}})}^{np}={(e^{2i\pi})}^p=1^p=1$ ?

Tout a fait !

Citation :

parce que dans ce cas-là, la b) ferait tout le temps 0 si je ne m'abuse

Tu t'abuses a priori (rien que pour $p=0$)

Bon alors je propose :

Spoiler:

juste ?

et donc pour la c) :

Spoiler: