| Semaine 1 - Sommes (indications) | |
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julien Gros Méchant
Nombre de messages : 796 Age : 35 Localisation : At home Section : ex MPSI V, ex MP*2 Date d'inscription : 10/07/2006
| Sujet: Semaine 1 - Sommes (indications) Lun 14 Juil 2008, 20:06 | |
| Exercice 1.1
On doit trouver :
$U_n = \frac{n(n+1)}{2}$ $V_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ $W_n =\left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ | |
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lansteevens Bon Matheux
Nombre de messages : 103 Age : 33 Localisation : vierzon Section : Ex Ts(édouart vaillant)--->> Futur MPSI interne Loisirs : basket,msn,facebook,poker,soiré entre amis..... Date d'inscription : 05/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Mar 15 Juil 2008, 16:59 | |
| si tu donne sa ya plus rien a faire non a par une recurence!atta stp pour donner les autres! | |
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julien Gros Méchant
Nombre de messages : 796 Age : 35 Localisation : At home Section : ex MPSI V, ex MP*2 Date d'inscription : 10/07/2006
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Mar 15 Juil 2008, 17:10 | |
| J'ai bien le droit de donner des exos faciles pour commencer si je veux. Non mais oh ! | |
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torres Bon Matheux
Nombre de messages : 89 Section : Futur PCSI (avec internat) Date d'inscription : 12/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Mar 19 Aoû 2008, 03:11 | |
| Faut dire que les premiers sont faciles comme a dit Julien. Bon j'ai tout fait (sauf la dernière), ce n'est pas compliqué, je donne des indications : Exercice 1.1- Un : Somme suite arithmétique (rhétorique^^) - Vn : Sommez $(k+1)^3 - k^3$ - Wn: Avec Un et Vn, vous devriez pas avoir de mal ^^ - Xn: Binôme de Newton (trivial ^^) - Yn: F(x) = $(x+1)^n$ = ... (Binôme de Newton). Dérivez et calculer f'(1) et c'est torshé! - Zn: Redériver et même méthode que Yn - Dn: Essayer de transformer la somme de 0 à 2n, appliquer la formule d'une somme d'une suite géométrique et utiliser les formules d'euler : $2cos x = e^{ix} + e^{-ix}$ ; $2i sinx = e^{ix} - e^{-ix}$. - Fn: Triviale si vous trouvez Dn. - Gn: A vous de jouer. Si vous avez des questions , posez les.
Dernière édition par torres le Jeu 21 Aoû 2008, 19:15, édité 1 fois | |
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Emeric Philiboy
Nombre de messages : 688 Age : 33 Localisation : 10 km de Valence Section : MPSI5 -> MP*2 -> (5/2) MP*2 -> ENS Lyon Loisirs : Maths, PC, MSN, Karting, Glande, Sport ... Date d'inscription : 22/08/2007
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Mar 19 Aoû 2008, 15:25 | |
| Pour Dn, autant passer par la partie Réelle et Imaginaire, qui est linéaire, ca fait un calcul en moins !
Pour Gn, je conseille aux futurs sups de ne pas perdre de temps dessus. Je dispose d'un corrigé si vous êtes tout de même intéréssés. | |
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torres Bon Matheux
Nombre de messages : 89 Section : Futur PCSI (avec internat) Date d'inscription : 12/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Mar 19 Aoû 2008, 18:20 | |
| Je suis pas sûr que ta méthode pour Dn soit plus rapide...^^ | |
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Emeric Philiboy
Nombre de messages : 688 Age : 33 Localisation : 10 km de Valence Section : MPSI5 -> MP*2 -> (5/2) MP*2 -> ENS Lyon Loisirs : Maths, PC, MSN, Karting, Glande, Sport ... Date d'inscription : 22/08/2007
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Mar 19 Aoû 2008, 19:13 | |
| Tout est relatif, mais en l'occurence une somme au lieu de deux ^^ | |
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torres Bon Matheux
Nombre de messages : 89 Section : Futur PCSI (avec internat) Date d'inscription : 12/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Jeu 21 Aoû 2008, 19:14 | |
| La suite arrive (même si j'ai pas encore tout fait ^^). Exercice 2.2- Bn : Technique de décomposition en somme de fractions : on remarque que $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)}$ - Cn: Idem + Technique de changement d'indice. Ensuite, transformer toutes les sommes en somme harmonique (=$\frac{1}{k}$) avec changement d'indice. - Dn: Si vous avez compris la démarche, vous devrez trouver celle là. Le changement d'indice est triviale. - En; Fn: Penser à lier les 2 et à utiliser le binôme de Newton. Enjoy (Marre des sommes xD)
Dernière édition par torres le Jeu 21 Aoû 2008, 22:27, édité 1 fois | |
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Emeric Philiboy
Nombre de messages : 688 Age : 33 Localisation : 10 km de Valence Section : MPSI5 -> MP*2 -> (5/2) MP*2 -> ENS Lyon Loisirs : Maths, PC, MSN, Karting, Glande, Sport ... Date d'inscription : 22/08/2007
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Jeu 21 Aoû 2008, 20:41 | |
| Tu aimes les sommes à ce que je vois torres lol ! J'espère qu'il ya une feuille d'exos spéciale en PCSI | |
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torres Bon Matheux
Nombre de messages : 89 Section : Futur PCSI (avec internat) Date d'inscription : 12/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Ven 22 Aoû 2008, 15:01 | |
| Pour la décomposition en fraction simples, c'est la galére parce que ça prend du temps. Il faut poser des inconnues A, B, ... réduire au même dénominateur et résoudre un système d'équations parfois moches.
Tu m'avais dit qu'il y a plus simple. Comment? | |
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louisclem Skwateur
Nombre de messages : 11 Section : Date d'inscription : 20/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Ven 22 Aoû 2008, 16:13 | |
| Je pense que tu peux faire sans passer par un système tout moche et des inconnues, de façon plus directe et plus intuitive, surtout quand tu n'as que deux termes au dénominateur. Voici comment je fais le début de $C_n$ : $C = \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{k(k+1)} \times \frac{1}{k+2}$ Or on a calculé dans $B_n$ que : $\frac{1}{k(k+1)} =\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$Donc on distribue, et ça donne deux fractions à deux termes au dénominateur : $$C = \frac{1}{k(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}$$ C'est là que tu peux faire intuitivement, en essayant et en rajoutant éventuellement des coefficients. On remarque que $(k+2) - k = 2$ donc pour le premier ça fait : $$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \Big(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\Big)$$ Pour le 2ème de même on remarque que $(k+2)-(k+1) = 1$ donc on peut faire comme dans $B_n$. Et pour $D_n$ ben c'est pareil $(2k+3)-(2k+1) = 2$ donc on applique un coefficient $\frac{1}{2}$. Tu vois c'est cela que j'appelle le raisonnement intuitif, on fait un essai simple sans coefficient et on voit tout de suite lequel il faut mettre, et si tu as plus de termes, tu les regroupes (ou alors si tu en as vraiment beaucoup tu peux faire un système comme tu dis). Ensuite on arrive à une somme sur $k$ de $f(k+a)-f(k)$ qui est assez facile à calculer, je pense pas qu'on ait besoin de changement d'indice. | |
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Emeric Philiboy
Nombre de messages : 688 Age : 33 Localisation : 10 km de Valence Section : MPSI5 -> MP*2 -> (5/2) MP*2 -> ENS Lyon Loisirs : Maths, PC, MSN, Karting, Glande, Sport ... Date d'inscription : 22/08/2007
| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) Ven 22 Aoû 2008, 17:10 | |
| La méthode exposée par louisclem est une méthode uniquement astucieuse pour cet exemple, en effet les coefficients à trouver sont simple et les multiplicités des pôles ne sont pas grandes.
Ce dont je te parlais torres, consiste bien à écrire: $ \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2} $ mais à ne pas mettre au même dénominateur ensuite. En effet, par exemple pour trouver A : On multiplie tout par k , et on remplace k par 0 à gauche :
$A = \frac{1}{(0+1)(0+2)} = \frac{1}{2} $
Et idem pour B et C, la méthode ne fonctionnant si simplement que pour des pôles de multiplicité 1. ( A vous de chercher le sens de cette définition vous apprendrez qqch ^^ ) | |
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| Sujet: Re: Semaine 1 - Sommes (indications) | |
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