Semaine 1 - Sommes

Autant vous familiariser tout de suite avec ces notations.

On note $\sum_{k=p}^n a_k = a_p + a_{p+1} + ... + a_n$.

Exercice 1.1

Calculer les sommes suivantes :

$U_n = \sum_{k=1}^n k$
$V_n = \sum_{k=1}^n k^2$
$W_n = \sum_{k=1}^n k^3$

$\displaystyle X_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k}$
$\displaystyle Y_n = \sum_{k=0}^n k {n \choose k}$
$Z_n = \sum_{k=0}^n k^2 {n \choose k}$

$D_n(x) = \sum_{k=-n}^n \exp (ikx)$ (Noyau de Dirichlet)
$F_n(x) = \frac{1}{n+1}\sum_{m=0}^n D_m(x)$ (Noyau de Fejér)

$G_n = \sum_{k=1}^{n} exp \left(\frac{2ik^{2}\pi}{n}\right)$, le spécial d'Emeric (réservé aux petits génies du forum)

Des indications seront données ultérieurement.

Exercice 2.2
Toujours des sommes à calculer, plus ou moins faciles.
$$A_n = \sum_{k=0}^{+\infty} {n \choose {3k}}$$ (il est conseillé de se demander ce que signifie ici $\infty$...)
$$B_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$$
$$C_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$$
$$D_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$$
$$E_n = \sum_{k=0}^n {{2n} \choose {2k}} \quad F_n = \sum_{k=0}^n {{2n} \choose {2k+1}}$$
$$G_n = \sum_{k=1}^n \cos (kx) \cos^k x \quad H_n = \sum_{k=1}^n \sin (kx) \sin^k x$$

Exercice 2.3
Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites réelles telles que pour tout entier $n$ on a :
$$a_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} b_k$$.
Montrer qu'on a alors :
$$(-1)^n b_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} a_k$$

ça y est je viens de refaire les deux premiers, pas bien difficile faut juste éviter de faire des erreurs de calculs !

stefane a écrit:

ça y est je viens de refaire les deux premiers, pas bien difficile faut juste éviter de faire des erreurs de calculs !

a priori, tu devrais les connaitre par coeur, donc récurrence et c'est torsché ;p

oui je les connais par coeur, mm pas besoin de recurrence on peut le faire en formant la quantitée (k+1)^3-k^3 pr la seconde par exemple

lool la récurrence ça va quand même plus vite...ralala les 2 noyaux j'les ai eu en DS, mauvais souvenir...
il me semble que Féjer c'était le carré d'un quotient de sinus...j'vais voir ça un peu plus tard...^^

chuuuuuut

Je propose de rajouter le calcul de la somme suivante:
$\forall n \in \mathbb{N} : \sum_{k=0}^{n} exp(\frac{2ik^{2}\pi}{n})$

Indication(ssss) à suivre !

" Fejer , le seul truc fondamental c'est qu'il est positif " Richard Antetomaso

Salut tout le monde !

J'aimerais que vous m'expliquiez une chose s'il vous plait.
Vous parlez de récurrence, je sais ce que c'est bien sur mais mes profs m'ont toujours appris la récurrence quand on connaissait le résultat a démontrer, je m'explique ; si l'exercice avait été posé comme ceci :

Montrer que $V_n = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
je pense que là j'aurais pu utiliser " la " récurrence que l'on m'a apprise, mais quand vous parlez de récurrence peut-être est-ce parce que vous connaissiez les résultats d'avance ?

PS : est-ce que des pré-sups peuvent s'intéresser aux exos ou c'est trop dur ?

Oui en l'occurence ils connaissetn le résultat d'avance et donc ils le démontre par récurrence !
Ici tu pourrais conjecturer sur les premiers termes, et en déduire le résultat à montrer par récurrence. En fait il existe une méthode générale pour calculer ce genre de somme, elle a été esquissée par stefane ! Ceci étant à rapprocher des sommes de Newton.

D'une part la récurrence n'est pas nécessaire ici, d'autre part on peut "intuiter" les résultats et de toute manière je les ai mis dans le post "indications" correspondant.

Finalement, ces exercices sont justement faits pour les pré-sup

Julien rajoute ma somme pour que ceux qui ont fini les tiennes essayent
PS : je viens de modifer

en gros Poupoute, tu fais comme tu veux, mais le but c'est de trouver la formule, si on te file cet exo a l'oral (truc improbable au possible, faut pas exagérer) et que tu connais la somme, tu fais par récurrence et c'est pété, et on en reparle plus, sinon tu cherches

Ces exos sont même "bien entendus" pour les présups

Gandhorn a écrit:

Ces exos sont même "bien entendus" pour les présups

Enfin celui d'Emeric... même en MP* il est ultra-chaud

Je précise que la somme que j'ai donné c'est juste pour voir si y'en a qui se lanceraient ou pas

Je compte sur toi pour donner la correction bien sûr

Est-ce que la spéciale d'Emeric peut s'écrire comme ça ?

$G_n = \sum_{k=1}^n 1^\frac{k^2}{n}$

Poupoute God a écrit:

Est-ce que la spéciale d'Emeric peut s'écrire comme ça ?

$G_n = \sum_{k=1}^n 1^\frac{k^2}{n}$

Bien sûr et d'ailleurs sur le même principe on montre le résultat intuitif bien connu suivant :
$-1=(-1)^{\frac{2}{2}}=\sqrt{(-1)^2} = 1$

Sérieusement je vous déconseille de perdre du temps à chercher celle d'Emeric. Pour vous convaincre chercher "somme quadratique de Gauss" sur le net.

Ah euh non je ne pense pas que tu puisses l'écrire comme cela ! La propriété que tu utilises ca ne marches que pour les exposants entiers me semble t'il, si j'ai bien suivi ce que tu veux faire !

PS: La somme est belle à calculer mais c'est franchement dur ! C'était juste pour le fun lol ! Y'a tout un tas de trucs supers mignons derrière ça mais faut connaître quelques trucs qu'on ne voit pas en terminale pour le faire !
Si j'ai rien à faire je taperai le comment faire, ca m'apprendra latex en plus

julien a écrit:

Poupoute God a écrit:

Est-ce que la spéciale d'Emeric peut s'écrire comme ça ?

$G_n = \sum_{k=1}^n 1^\frac{k^2}{n}$

Bien sûr et d'ailleurs sur le même principe on montre le résultat intuitif bien connu suivant :
$-1=(-1)^{\frac{2}{2}}=\sqrt{(-1)^2} = 1$

Sérieusement je vous déconseille de perdre du temps à chercher celle d'Emeric. Pour vous convaincre chercher "somme quadratique de Gauss" sur le net.

Tu insinues donc qu'a 22h55, j'ai écrit n'importe quoi, une aberration mathématique de niveau 1 ? Je m'en vais de ce pas, mes chers amis, expier par la souffrance la plus horrible, ce péché que même la confession ne pourrait pardonner. ( Bon ok j'arrête mon délire )

Edit : Ah Emeric, tu me fends le coeur, j'ai le coeur fendu par toi ... ( oui tu as bien suivi mon idée et en regardant la petite feuille qui a servit de support à cette ignominie, je me suis rendu compte de mon erreur )

Poupoute God a écrit:

Tu insinues donc qu'a 22h55, j'ai écrit n'importe quoi, une aberration mathématique de niveau 1 ? Je m'en vais de ce pas, mes chers amis, expier par la souffrance la plus horrible, ce péché que même la confession ne pourrait pardonner. ( Bon ok j'arrête mon délire )

Personne ne t'en veux ne t'en fait pas ! Déjà je te suis très reconnaissant d'essayer des exos de maths pendant les vacances

Emeric a écrit:

Personne ne t'en veux ne t'en fait pas ! Déjà je te suis très reconnaissant d'essayer des exos de maths pendant les vacances

Mon dieu, quelle grâce, quelle bonté, serais-tu un ange tombé du ciel pour me secourir ? ou ( hypothèse plus probable ) c'est un gardien des enfers, un fourbe, ou peut être le malin en personne qui vient m'accueillir pour me punir de ma faute et me faire bruler durant l'éternité ?

Bon en étant serieux, j'ai regardé cette " somme quadratique de Gauss ", c'est très mignon et tout et tout mais bon ça arrache ^^.

Bah il faut comprendre tous les trucs de résidus quadratiques et ca c pas évident .... Mais c joli

c'est pa gentil de mettre des somme comme sa injuste !sa demoralise!