| Semaine 5 - Complexes | |
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julien Gros Méchant
Nombre de messages : 796 Age : 35 Localisation : At home Section : ex MPSI V, ex MP*2 Date d'inscription : 10/07/2006
| Sujet: Semaine 5 - Complexes Mer 23 Juil 2008, 22:53 | |
| Exercice 5.1 (Dolby Digital)
a) Mettre $1 + e^{i\alpha}$ sous forme exponentielle et plus généralement $e^{i\alpha} + e^{i\beta}$. b) Simplifier $\frac{1 + \cos \theta + i \sin \theta}{1 -/+ \cos \theta - i \sin \theta}$ et $\frac{(1+i\tan\theta)^2}{1+\tan^2\theta}$ pour $\theta\neq\pi/2$.
Exercice 5.2 (un peu de géometrie)
Montrer que le triangle de sommets d'affixes $a,b$ et $c$ est équilatéral si et seulement si $a^2 + b^2 +c^2 - (ab+ ac+ bc) = 0$.
Exercice 5.3
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\displaystyle\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$. Calculer
a) $\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} \omega^k$
b) Pour $\displaystyle p\in \mathbb{Z}$, $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{kp}$
c) Pour $p \in \{0,...,n-1\}$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (k + 1) \omega^{kp}$
d) Pour $p \in \{0,...,n-1\}$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} \omega^{kp}$
e) Montrer que $\sum_{k=0}^{n-1} z^k=\prod_{k=1}^{n-1} \left(z-\omega^k\right)$. En déduire la valeur de $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n}$.
Dernière édition par julien le Ven 25 Juil 2008, 23:12, édité 4 fois | |
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lansteevens Bon Matheux
Nombre de messages : 103 Age : 33 Localisation : vierzon Section : Ex Ts(édouart vaillant)--->> Futur MPSI interne Loisirs : basket,msn,facebook,poker,soiré entre amis..... Date d'inscription : 05/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Jeu 24 Juil 2008, 21:02 | |
| pour le premier j'ai: - Spoiler:
$ 2\cos \frac{a}{2} \exp \frac{ia}{2}$
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lansteevens Bon Matheux
Nombre de messages : 103 Age : 33 Localisation : vierzon Section : Ex Ts(édouart vaillant)--->> Futur MPSI interne Loisirs : basket,msn,facebook,poker,soiré entre amis..... Date d'inscription : 05/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Jeu 24 Juil 2008, 21:10 | |
| pour celle qui suit j'ai : - Spoiler:
$2 \cos\frac{b-a}{2} \exp \frac{i(b+a)}{2}$
désolé je ne sais a utiliser le latex..
Dernière édition par lansteevens le Ven 25 Juil 2008, 13:46, édité 7 fois | |
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Sephy Bon Matheux
Nombre de messages : 85 Age : 33 Localisation : Paris XV Section : MPSI V Loisirs : Maths, Piano Date d'inscription : 04/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Jeu 24 Juil 2008, 21:20 | |
| Latex c'est pratique J'ai bien les mêmes résultats, cependant je pense que ça serait bien que tu mettes un spoiler pour ceux qui souhaitent chercher l'exo | |
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lansteevens Bon Matheux
Nombre de messages : 103 Age : 33 Localisation : vierzon Section : Ex Ts(édouart vaillant)--->> Futur MPSI interne Loisirs : basket,msn,facebook,poker,soiré entre amis..... Date d'inscription : 05/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Jeu 24 Juil 2008, 21:28 | |
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Sephy Bon Matheux
Nombre de messages : 85 Age : 33 Localisation : Paris XV Section : MPSI V Loisirs : Maths, Piano Date d'inscription : 04/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Jeu 24 Juil 2008, 21:30 | |
| - lansteevens a écrit:
- c'est quoi un spoiler?
Des balises que tu insères dans ta réponse qui ne rendent pas visible directement ton message. Exemple : - Spoiler:
Ceci est un spoiler
To spoil = gâcher (la surprise/le jeu ...) | |
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lansteevens Bon Matheux
Nombre de messages : 103 Age : 33 Localisation : vierzon Section : Ex Ts(édouart vaillant)--->> Futur MPSI interne Loisirs : basket,msn,facebook,poker,soiré entre amis..... Date d'inscription : 05/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Jeu 24 Juil 2008, 21:40 | |
| et comment tu fai pour le faire stp come sa je le ferai. | |
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Sephy Bon Matheux
Nombre de messages : 85 Age : 33 Localisation : Paris XV Section : MPSI V Loisirs : Maths, Piano Date d'inscription : 04/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Jeu 24 Juil 2008, 21:41 | |
| - lansteevens a écrit:
- et comment tu fai pour le faire stp come sa je le ferai.
[*spoiler]Ceci est un spoiler[*/spoiler] Comme ça (en enlevant les étoiles) | |
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lansteevens Bon Matheux
Nombre de messages : 103 Age : 33 Localisation : vierzon Section : Ex Ts(édouart vaillant)--->> Futur MPSI interne Loisirs : basket,msn,facebook,poker,soiré entre amis..... Date d'inscription : 05/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Jeu 24 Juil 2008, 23:13 | |
| julien tu pourrai me dire si c'est un "+" ou un "-"avant le cos de lexemple 2 de lexercice 1 stp | |
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julien Gros Méchant
Nombre de messages : 796 Age : 35 Localisation : At home Section : ex MPSI V, ex MP*2 Date d'inscription : 10/07/2006
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 13:19 | |
| Les deux . Par ailleurs, voudrais-tu bien détailler un peu tes résultats ? | |
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lansteevens Bon Matheux
Nombre de messages : 103 Age : 33 Localisation : vierzon Section : Ex Ts(édouart vaillant)--->> Futur MPSI interne Loisirs : basket,msn,facebook,poker,soiré entre amis..... Date d'inscription : 05/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 15:01 | |
| ba pour les resultats quand je saurai utiliser le latex je le ferai mais la.... | |
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Gandhorn Gros Vilain
Nombre de messages : 592 Age : 36 Localisation : Périgueux Section : MPSI V --> ψ*1 --> X 08 Loisirs : Faire fondre mon tapis de souris... Date d'inscription : 07/09/2006
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 15:48 | |
| - lansteevens a écrit:
- julien tu pourrai me dire si c'est un "+" ou un "-"avant le cos de lexemple 2 de lexercice 1 stp
moi je dis quand c'est un + ça doit pas être très compliqué car le module je le fais de tête | |
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lansteevens Bon Matheux
Nombre de messages : 103 Age : 33 Localisation : vierzon Section : Ex Ts(édouart vaillant)--->> Futur MPSI interne Loisirs : basket,msn,facebook,poker,soiré entre amis..... Date d'inscription : 05/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 16:33 | |
| a bon komment tu fia pour le trouver de tête le module? c 1ce module? | |
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julien Gros Méchant
Nombre de messages : 796 Age : 35 Localisation : At home Section : ex MPSI V, ex MP*2 Date d'inscription : 10/07/2006
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 16:37 | |
| $1+e^{i\theta}$ et $1+e^{-i\theta}$ on clairement le même module : essaye de le voir géométriquement. | |
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lansteevens Bon Matheux
Nombre de messages : 103 Age : 33 Localisation : vierzon Section : Ex Ts(édouart vaillant)--->> Futur MPSI interne Loisirs : basket,msn,facebook,poker,soiré entre amis..... Date d'inscription : 05/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 17:00 | |
| moi je trouve sa: - Spoiler:
$\frac{1 + cos\theta + i\sin\theta}{1 + cos\theta - i\sin\theta}$
=$\frac{1+e^{i\theta}}{1+e^{i\theta}-2i\sin\theta}}$
=$\frac{1+e^{i\theta}}{1+e^{i\theta}-(e^{i\theta}-e^{-i\theta})}$
=$\frac{2cos\frac{\theta}{2}e^{i\theta/2}}{2cos\frac{-\theta}{2}e^{-i\frac{\theta}{2}}$
=$e^{i\frac{\theta}{2}}*e^{i\frac{\theta}{2}}$
=$e^{i\theta}$
c'est bon? | |
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julien Gros Méchant
Nombre de messages : 796 Age : 35 Localisation : At home Section : ex MPSI V, ex MP*2 Date d'inscription : 10/07/2006
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 17:15 | |
| Oui mais c'est maladroit. Enfin... ce n'est pas toujours vrai il faudrait préciser pour quels $\theta$ on peut écrire ça. | |
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Thibault Skwateur
Nombre de messages : 8 Age : 33 Localisation : Strasbourg Section : Futur MPSI Date d'inscription : 24/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 22:39 | |
| Allez je m'y colle pour l'exo 5.3 : - Spoiler:
a) $\prod_ {k=0}^{n-1} \omega^k = \omega^{\sum_{k=0}^{n-1}k} = (-1)^{n-1}$ b) $\sum_ {k=0}^{n-1} \omega^{kp} = \frac{\omega^{np}-1}{\omega^p-1}$ c) $\sum_ {k=0}^{n-1} (k+1)\omega^{kp} = \frac{n\omega^{np}}{\omega^p-1} - \frac{\omega^{np}-1}{(\omega^p-1)^2}$ d) $\sum_ {k=0}^{n-1} {n \choose k} \omega^{kp} = (\omega^p+1)^n-\omega^{np}$ e) Après moultes efforts, j'ai trouvé un résultat qui m'a l'air bon : $\prod_ {k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$ Pas fait la démonstration par contre ...
Voilà, j'espère que c'est plus ou moins juste
Dernière édition par Thibault le Ven 25 Juil 2008, 23:31, édité 1 fois | |
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julien Gros Méchant
Nombre de messages : 796 Age : 35 Localisation : At home Section : ex MPSI V, ex MP*2 Date d'inscription : 10/07/2006
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 23:03 | |
| tu te doutes bien que c'était pas ça pour la b) -> Je corrige, ça m'apprendra. Sinon ça n'a pas l'air mal du tout , je regarderai en détails demain.
Dernière édition par julien le Sam 26 Juil 2008, 01:46, édité 1 fois | |
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Thibault Skwateur
Nombre de messages : 8 Age : 33 Localisation : Strasbourg Section : Futur MPSI Date d'inscription : 24/06/2008
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julien Gros Méchant
Nombre de messages : 796 Age : 35 Localisation : At home Section : ex MPSI V, ex MP*2 Date d'inscription : 10/07/2006
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 23:12 | |
| J'ai aussi modifié la c) et la d) | |
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Thibault Skwateur
Nombre de messages : 8 Age : 33 Localisation : Strasbourg Section : Futur MPSI Date d'inscription : 24/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 23:23 | |
| oh, ben ça change pas grand chose je cours éditer mon post précédent | |
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julien Gros Méchant
Nombre de messages : 796 Age : 35 Localisation : At home Section : ex MPSI V, ex MP*2 Date d'inscription : 10/07/2006
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 23:40 | |
| - Thibault a écrit:
- oh, ben ça change pas grand chose je cours éditer mon post précédent
Je suis d'accord pour la a), par contre déjà la b)... | |
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Thibault Skwateur
Nombre de messages : 8 Age : 33 Localisation : Strasbourg Section : Futur MPSI Date d'inscription : 24/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Ven 25 Juil 2008, 23:47 | |
| juste une chose, parce que je ne suis pas sûr de la simplification (ou alors c'est la fatigue), est-ce que ${(e^{\frac{2i\pi}{n}})}^{np}={(e^{2i\pi})}^p=1^p=1$ ? parce que dans ce cas-là, la b) ferait tout le temps 0 si je ne m'abuse | |
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julien Gros Méchant
Nombre de messages : 796 Age : 35 Localisation : At home Section : ex MPSI V, ex MP*2 Date d'inscription : 10/07/2006
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Sam 26 Juil 2008, 01:11 | |
| - Thibault a écrit:
- juste une chose, parce que je ne suis pas sûr de la simplification (ou alors c'est la fatigue), est-ce que ${(e^{\frac{2i\pi}{n}})}^{np}={(e^{2i\pi})}^p=1^p=1$ ?
Tout a fait ! - Citation :
- parce que dans ce cas-là, la b) ferait tout le temps 0 si je ne m'abuse
Tu t'abuses a priori (rien que pour $p=0$) | |
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Thibault Skwateur
Nombre de messages : 8 Age : 33 Localisation : Strasbourg Section : Futur MPSI Date d'inscription : 24/06/2008
| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes Sam 26 Juil 2008, 11:31 | |
| Bon alors je propose : - Spoiler:
b) $\sum_ {k=0}^{n-1} \omega^{kp} = 0$ sauf si p est un multiple de n, ce qui est le cas quand $p=0$ seulement (car $p<n$). Evidemment, si $p=0$, la somme fait $n$
juste ? et donc pour la c) : - Spoiler:
c) $\sum_ {k=0}^{n-1} (k+1)\omega^{kp} = \frac{n\omega^{np}}{\omega^p-1} - \frac{\omega^{np}-1}{(\omega^p-1)^2} = \frac{n}{\omega^p-1}$ sauf si $p=0$, on aura alors $\sum_ {k=0}^{n-1} (k+1)\omega^{kp} = \frac{n(n+1)}{2}$
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| Sujet: Re: Semaine 5 - Complexes | |
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