Semaine 1 - Sommes (indications)

Exercice 1.1

On doit trouver :

$U_n = \frac{n(n+1)}{2}$
$V_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$W_n =\left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

si tu donne sa ya plus rien a faire non a par une recurence!atta stp pour donner les autres!

J'ai bien le droit de donner des exos faciles pour commencer si je veux. Non mais oh !

Faut dire que les premiers sont faciles comme a dit Julien. Bon j'ai tout fait (sauf la dernière), ce n'est pas compliqué, je donne des indications :

Exercice 1.1

- Un : Somme suite arithmétique (rhétorique^^)
- Vn : Sommez $(k+1)^3 - k^3$
- Wn: Avec Un et Vn, vous devriez pas avoir de mal ^^

- Xn: Binôme de Newton (trivial ^^)
- Yn: F(x) = $(x+1)^n$ = ... (Binôme de Newton). Dérivez et calculer f'(1) et c'est torshé!
- Zn: Redériver et même méthode que Yn

- Dn: Essayer de transformer la somme de 0 à 2n, appliquer la formule d'une somme d'une suite géométrique et utiliser les formules d'euler : $2cos x = e^{ix} + e^{-ix}$ ; $2i sinx = e^{ix} - e^{-ix}$.
- Fn: Triviale si vous trouvez Dn.

- Gn:

A vous de jouer.
Si vous avez des questions , posez les.

Pour Dn, autant passer par la partie Réelle et Imaginaire, qui est linéaire, ca fait un calcul en moins !

Pour Gn, je conseille aux futurs sups de ne pas perdre de temps dessus. Je dispose d'un corrigé si vous êtes tout de même intéréssés.

Je suis pas sûr que ta méthode pour Dn soit plus rapide...^^

Tout est relatif, mais en l'occurence une somme au lieu de deux ^^

La suite arrive (même si j'ai pas encore tout fait ^^).

Exercice 2.2

- Bn : Technique de décomposition en somme de fractions : on remarque que $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)}$
- Cn: Idem + Technique de changement d'indice. Ensuite, transformer toutes les sommes en somme harmonique (=$\frac{1}{k}$) avec changement d'indice.
- Dn: Si vous avez compris la démarche, vous devrez trouver celle là. Le changement d'indice est triviale.
- En; Fn: Penser à lier les 2 et à utiliser le binôme de Newton.

Enjoy
(Marre des sommes xD)

Tu aimes les sommes à ce que je vois torres lol !
J'espère qu'il ya une feuille d'exos spéciale en PCSI

Pour la décomposition en fraction simples, c'est la galére parce que ça prend du temps. Il faut poser des inconnues A, B, ... réduire au même dénominateur et résoudre un système d'équations parfois moches.

Tu m'avais dit qu'il y a plus simple. Comment?

Je pense que tu peux faire sans passer par un système tout moche et des inconnues, de façon plus directe et plus intuitive, surtout quand tu n'as que deux termes au dénominateur.
Voici comment je fais le début de $C_n$ : $C = \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{k(k+1)} \times \frac{1}{k+2}$ Or on a calculé dans $B_n$ que : $\frac{1}{k(k+1)} =\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$Donc on distribue, et ça donne deux fractions à deux termes au dénominateur :
$$C = \frac{1}{k(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}$$
C'est là que tu peux faire intuitivement, en essayant et en rajoutant éventuellement des coefficients. On remarque que $(k+2) - k = 2$ donc pour le premier ça fait :
$$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \Big(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\Big)$$
Pour le 2ème de même on remarque que $(k+2)-(k+1) = 1$ donc on peut faire comme dans $B_n$.
Et pour $D_n$ ben c'est pareil $(2k+3)-(2k+1) = 2$ donc on applique un coefficient $\frac{1}{2}$. Tu vois c'est cela que j'appelle le raisonnement intuitif, on fait un essai simple sans coefficient et on voit tout de suite lequel il faut mettre, et si tu as plus de termes, tu les regroupes (ou alors si tu en as vraiment beaucoup tu peux faire un système comme tu dis). Ensuite on arrive à une somme sur $k$ de $f(k+a)-f(k)$ qui est assez facile à calculer, je pense pas qu'on ait besoin de changement d'indice.

La méthode exposée par louisclem est une méthode uniquement astucieuse pour cet exemple, en effet les coefficients à trouver sont simple et les multiplicités des pôles ne sont pas grandes.

Ce dont je te parlais torres, consiste bien à écrire:
$ \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2} $
mais à ne pas mettre au même dénominateur ensuite.
En effet, par exemple pour trouver A :
On multiplie tout par k , et on remplace k par 0 à gauche :

$A = \frac{1}{(0+1)(0+2)} = \frac{1}{2} $

Et idem pour B et C, la méthode ne fonctionnant si simplement que pour des pôles de multiplicité 1. ( A vous de chercher le sens de cette définition vous apprendrez qqch ^^ )