Enoncés et spoilers

Voici la liste de tous les énoncés proposés, je la mettrai à jour régulièrement (postez vos énoncés et spoilers ici, je mettrai le tout au propore au fur et à mesure).

Pour proposer votre solution ou parler d'un exos, direction Tentatives de résolution : écrivez le n° de l'énoncé en rouge au début de votre message. Si vous proposez une solution, une astuce ou un indice, écrivez le reste en blanc

1) a,b,c dans R+ tels que abc=1
montrer que a/(a+1)(b+1)+b/(b+1)(c+1)+c/(c+1)(a+1)>=3/4
résoudre les cas d'égalité (bon ça c'est peut-être un peu dur mais bon...)

2) soient a,b,c, d des réels tels que:
a²+b²=1 et c²+d²=1
montrer que |ac-bd|<=1

3) déterminer l'ensemble des fonctions telles que:
|f(x)-f(y)|<=(x-y)²

4) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I à valeurs réelles, de dérivée f ' , a et b deux éléments de I tels que a<b. Démontrer que pour tout réel y tel que f ' (a) < y < f ' (b), alors il existe un réel x entre a et b tel que f ' (x) = y

Bon courage à vos petits neurones...

Attention SPOILER :



1)

Deja on appelle K la grosse expression pas jolie de gauche
Ensuite on multiplie K par (a+1)(b+1)(c+1)
La on obtient une expression sympathique et il n'y plus
qu'à montrer que pour x=a ou b ou c on a
1/x + x >=(x+1)/4 (par l'absurde)
Ensuite on a plus qu'à diviser et on a le résultat voulu.
Le cas d'égalité j'ai pas regardé mais ça sent le truc pénible, je verrai bien a=b=c=1 mais je sais pas si y en d'autres.




2)

On pose a=cos (teta) c=cos (alpha)
b=sin (teta) d=sin (alpha)

et on reconnaît l'expression de de cos (teta+alpha) dont le module
est plus petit que 1.


3)

Les fonctions constantes, indice utiliser la formule de la derivé en fixant
x et en faisant varier y

4)

Un peu long pour être fait ici, je pense pas que ce soit super intéressant
pour vous en plus il me semble que le lien d'une correction a été filé.


Je suis franchement pas convaincu que j'aurai su faire ces exos
à la sortie de term S donc commencez pas à stresser pour ça.
Si j'ai fait des erreurs merci de me les signaler!